Question

已知直線y=3x+1是曲線y=x³-2x+a的一條切線，求a的值．

Answer 1

分析：若y=3x+1是曲線y=x³-2x+a的一條切線，則在切點處導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值等于切線的斜率，故我們可以據(jù)此利用導(dǎo)函數(shù)，求出切點的橫坐標(biāo)，然后代入切入方程，確定切點的坐標(biāo)，再代入曲線方程最終確定參數(shù)的值．

解答：解：∵y=x³-2x+a
∴y′=3x²-2．
令3x²-2=3，
x=±

15

3

．
代入切線方程知y₀=1±

15

，
即切點坐標(biāo)為（

15

3

，1+

15

），或（-

15

3

，1-

15

），
代入曲線方程y=x³-2x+a得
∴a=y₀+2x₀-x₀³=

15

．

點評：（1）解決此類問題一定要分清“在某點處的切線”，還是“過某點的切線”的問法．（2）解決“過某點的切線”問題，一般是設(shè)出切點坐標(biāo)為P（x0，y0），然后求其切線斜率k=f′（x0），寫出其切線方程．而“在某點處的切線”就是指“某點”為切點．（3）曲線與直線相切并不一定只有一個公共點，當(dāng)曲線是二次曲線時，我們知道直線與曲線相切，有且只有一個公共點，這種觀點對一般曲線不一定正確．