Question

（2009•聊城二模）如圖所示的多面體，它的正視圖為直角三角形，側視圖為矩形，俯視圖為直角梯形（尺寸如圖所示）

（1）求證：AE∥平面DCF；
（2）若M是AE的中點，AB=3，∠CEF=90°，求證：平面AEF⊥平面BMC．

Answer 1

分析：（1）證法1（線面平行的判定定理法）：過點E作EG⊥CF于G，連結DG，可證得四邊形ADGE為平行四邊形，進而AE∥DG，結合線面平行的判定定理得到答案．
證法2：（面面平行的性質法）：由四邊形BEFC為梯形，可得BE∥CF，結合線面平行的判定定理可得BE∥平面DCF，同理由AB∥DC，可證AB∥平面DCF，由面面平行的判定定理得到平面ABE∥平面DCF，進而由面面平行的性質得到答案．
（2）由面面垂直的判定定理得證．

解答：（1）證法1：過點E作EG⊥CF交CF于G，連結DG，可得四邊形BCGE為矩形，
又四邊形ABCD為矩形，所以AD=EG，從而四邊形ADGE為平行四邊形故AE∥DG    
因為AE?平面DCF，DG?平面DCF，
所以AE∥平面DCF   
證法2：（面面平行的性質法）
因為四邊形BEFC為梯形，所以BE∥CF．
又因為BE?平面DCF，CF?平面DCF，
所以BE∥平面DCF．
因為四邊形ABCD為矩形，所以AB∥DC．同理可證AB∥平面DCF．
又因為BE和AB是平面ABE內的兩相交直線，
所以平面ABE∥平面DCF．
又因為AE?平面ABE，所以AE∥平面DCF．
（2）在Rt△EFG中，∠CEF=90°，EG=

3

，EF=2．∴∠GEF=30°，GF=

1

2

EF=1．
在RT△CEG中，∠CEG=60°，∴CG=EGtan60°=3，BE=3．∵AB=3，M是AE中點，∴BM⊥AE，由側視圖是矩形，俯視圖是直角梯形，
得BC⊥AB，BC⊥BE，∵AB∩BM=B，∴AE⊥平面BCM
又∵AE?平面ACE，∴平面ACE⊥平面BCM．

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，由三視圖還原實物圖，
其中（1）的關鍵是熟練掌握線面平行證明的方法和步驟，（2）的關鍵是熟練掌握面面垂直證明的方法和步驟．