Question

經(jīng)過橢圓

x2

2

+y²=1的一個焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l，交橢圓于A、B兩點(diǎn)．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

OA

•

OB

等于（　�。�

• A、-3
• B、-

  1

  3

• C、-

  1

  3

  或-3
• D、±

  1

  3

Answer 1

分析：先根據(jù)橢圓方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁•x₂和x₁+x₂的值，進(jìn)而根據(jù)直線方程求得y₁y₂的值，最后根據(jù)向量的計(jì)算法則求得答案．

解答：解：由

x2

2

+y²=1，得a²=2，b²=1，c²=a²-b²=1，焦點(diǎn)為（±1，0）．
直線l不妨過右焦點(diǎn)，傾斜角為45°，直線l的方程為y=x-1．
代入

x2

2

+y²=1得x²+2（x-1）²-2=0，
即3x²-4x=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁•x₂=0，x₁+x₂=

4

3

，y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=1-

4

3

=-

1

3

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0-

1

3

=-

1

3

．
故選B

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．當(dāng)涉及過叫焦點(diǎn)的直線時(shí)，常需設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理來解決．