Question

【題目】已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為坐標軸，它與雙曲線：交于點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點.

（1）求拋物線與雙曲線的標準方程；

（2）若斜率為的直線過點且與拋物線只有一個公共點，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）拋物線方程為;雙曲線的方程為.（2）直線的方程為或

【解析】

（1）根據拋物線的準線過雙曲線的左焦點,可知拋物線開口向右,則設拋物線方程為,代入即可求得拋物線方程;由拋物線方程可得拋物線的準線方程,進而得雙曲線的,由雙曲線中的關系及代入,解方程可求得,即可得雙曲線的標準方程.

（2）討論直線的斜率和兩種情況:當時一定成立,由所過定點坐標可得直線方程;當時,聯(lián)立直線與拋物線方程,由判別式即可求得斜率,再由點斜式可得直線方程.

（1）因為拋物線的準線過雙曲線的左焦點,

設拋物線方程為

由拋物線過,代入可得

解得,所以拋物線方程為

拋物線的準線方程為,所以雙曲線的

同時將代入雙曲線方程,即 解方程組可得

所以雙曲線的標準方程為

（2）斜率為的直線過點且與拋物線只有一個公共點

當時,直線方程為,滿足題意

當時,直線可設為

則,化簡可得

由與直線拋物線只有一個公共點

可得

解得,所以直線的方程為

綜上可得直線的方程為或