Question

【題目】已知為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且軸．

（1）求的方程；

（2）過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．判定直線的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合橢圓方程中a,b,c的關(guān)系，求出a2，b2的值，進(jìn)而求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）聯(lián)立橢圓方程和直線方程，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合斜率公式，證得，進(jìn)而問(wèn)題得證.

（1）因?yàn)辄c(diǎn)在上，且軸，所以,

由 ，得，

故橢圓的方程為．

（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的的方程為，

令，得的坐標(biāo)為．

由，得．

設(shè)，則有．①

設(shè)直線的斜率分別為，

從而．

因?yàn)橹本�的方程為，所以，

所以

． ②

把①代入②，得．

又，所以，故直線的斜率成等差數(shù)列．