Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，判斷是否為的極值點，并說明理由；

（2）記.若函數(shù)存在極大值，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）將代入可得，即，對函數(shù)進行求導，令，再次進行求導，通過與0的關(guān)系，得到的單調(diào)性及最小值為0，即恒成立，可得結(jié)果；（2）求導可得，對進行討論，分為，，和四種情形，判斷單調(diào)性得極值，得其極值，再求出的最值即可.

試題解析：（1）由，可得，故．

不是的極值點.

理由如下：．

記，則.

由，解得；由，解得，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

故 ，即在恒單調(diào)遞增，

故不是的極值點．

（2）依題意，．

則．

①時，在恒成立，在恒成立，

所以在上先減后增，故在上有極小值，無極大值，應(yīng)舍去．

②時，在恒成立，在恒成立，

所以在上先減后增，故在上有極小值，無極大值，應(yīng)舍去．

③時，由得和，

	大于	小于	大于
	單調(diào)遞增	單調(diào)遞減	單調(diào)遞增

因為，故有下列對應(yīng)關(guān)系表：

故，

記，

因為在上單調(diào)遞減，

所以．

④當時，因為，故

	大于	小于	大于
	單調(diào)遞增	單調(diào)遞減	單調(diào)遞增

故，

設(shè)，

記，

則，令得和（舍去），

	小于	大于
	單調(diào)遞減	單調(diào)遞增

故．