Question

【題目】已知圓M: ，直線l：，下面五個(gè)命題，其中正確的是（ ）

A.對任意實(shí)數(shù)k與θ，直線l和圓M有公共點(diǎn)；

B.對任意實(shí)數(shù)k與θ，直線l與圓M都相離；

C.存在實(shí)數(shù)k與θ，直線l和圓M相離；

D.對任意實(shí)數(shù)k，必存在實(shí)數(shù)θ，使得直線l與圓M相切：

E.對任意實(shí)數(shù)θ，必存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與圓M相切；

Answer 1

【答案】AD

【解析】

圓M的圓心為點(diǎn)，半徑為r=1，直線過定點(diǎn)，由點(diǎn)A在圓上，數(shù)形結(jié)合可判斷直線與圓的位置關(guān)系；由題意知直線AM與直線l垂直，分與兩種情況討論對任意實(shí)數(shù)k，是否存在實(shí)數(shù)θ，使得直線l與圓M相切；令，分類討論可得圓心到直線l的距離恒成立，推出直線l與圓M必相交，此時(shí)不存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與圓M相切.

AB選項(xiàng)，由題意知圓M的圓心為點(diǎn)，半徑為r=1，

直線l的方程可寫作，過定點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上，

所以直線l與圓M相切或相交，任意實(shí)數(shù)k與θ，直線l和圓M有公共點(diǎn)，A正確B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，由以上分析知不存在實(shí)數(shù)k與θ，直線l和圓M相離，C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，當(dāng)直線l與圓M相切時(shí)，點(diǎn)A恰好為直線l與圓M的切點(diǎn)，故直線AM與直線l垂直，

①當(dāng)時(shí)，直線AM與x軸垂直，則，

即，解得，存在，使得直線l與圓M相切；

②當(dāng)時(shí)，若直線AM與直線l垂直，則，

直線AM的斜率為，

所以，即，

此時(shí)對任意的，均存在實(shí)數(shù)θ，使得，則直線AM與直線l垂直.

綜上所述，對任意實(shí)數(shù)k，必存在實(shí)數(shù)θ，使得直線l與圓M相切.D正確.

E選項(xiàng)，點(diǎn)到直線l的距離為，

令，當(dāng)時(shí)，d=0，；當(dāng)時(shí)，，

即此時(shí)恒成立，直線l與圓M必相交，

故此時(shí)不存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與圓M相切.E錯(cuò)誤.

故選：AD