Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線： （為參數(shù)），在以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，取相同單位長度的極坐標(biāo)系，直線： .

（Ⅰ）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）曲線上恰好存在三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離相等，分別求出這三個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（I）， ；（II）： 、.

【解析】試題分析：（1）平方相加消去參數(shù)，即可得到曲線的普通方程，利用兩角和的正弦公式極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化求出直線的直角坐標(biāo)方程；（2）求出圓的圓心與半徑，求出三個(gè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)，然后利用互化公式可求解這三點(diǎn)的極坐標(biāo).

試題解析：（Ⅰ）曲線，

可得：

曲線的普通方程： .

直線： .

直線的直角坐標(biāo)方程： .

（Ⅱ）∵圓的圓心半徑為2，圓心到直線的距離為1，

∴這三個(gè)點(diǎn)在平行直線與上，如圖：直線與與的距離為1.

： ， ： .

可得

兩個(gè)交點(diǎn)；

解得，

這三個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為： 、.