Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y=f（x﹣1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)，若對(duì)任意的x，y∈R，等式f（y﹣3）+f（ ）=0恒成立，則 的取值范圍是（ ）
A.[2﹣ ，2+ ]
B.[1，2+ ]
C.[2﹣ ，3]
D.[1，3]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函數(shù)y=f（x）的圖象可由y=f（x﹣1）的圖象向左平移1個(gè)單位得到，
由于y=f（x﹣1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)，
則y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
則f（x）為奇函數(shù)，即有f（﹣x）=﹣f（x），
則等式f（y﹣3）+f（ ）=0恒成立即為
f（y﹣3）=﹣f（ ）=f（﹣ ），
又f（x）是定義在R上的增函數(shù)，則有y﹣3=﹣ ，
兩邊平方可得，（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，
即有y=3﹣ 為以（2，3）為圓心，1為半徑的下半圓，
則 = 可看作是半圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率，
如圖，kOA= =3，取得最大，過(guò)O作切線OB，設(shè)OB：y=kx，
則由d=r得， =1，解得，k=2 ，
由于切點(diǎn)在下半圓，則取k=2﹣ ，即為最小值．
則 的取值范圍是[2﹣ ，3]．
故選C．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫(xiě)成其并集．