Question

如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上兩點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)E，GC，GD是圓O的切線，點(diǎn)F在DG的延長(zhǎng)線上，且。求證：
（Ⅰ）D、E、C、F四點(diǎn)共圓；       （Ⅱ）

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：（Ⅰ）依據(jù)已知條件尋求出∠DGC、∠F、∠CAB＋∠DBA的關(guān)系，借助對(duì)角互補(bǔ)證明D，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)果進(jìn)一步得到點(diǎn)G是經(jīng)過(guò)D，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)的圓的圓心，所以∠GCE＝∠GEC，延長(zhǎng)GE，繼而證明∠AEH＋∠CAB＝90°即可.
試題解析：（Ⅰ）如圖，連結(jié)OC，OD，則OC⊥CG，OD⊥DG，
設(shè)∠CAB＝∠1，∠DBA＝∠2，∠ACO＝∠3，
則∠COB＝2∠1，∠DOA＝2∠2．
所以∠DGC＝180°－∠DOC＝2(∠1＋∠2)．
因?yàn)椤螪GC＝2∠F，所以∠F＝∠1＋∠2．
又因?yàn)椤螪EC＝∠AEB＝180°－(∠1＋∠2)，
所以∠DEC＋∠F＝180°，所以D，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．

（Ⅱ）延長(zhǎng)GE交AB于H．
因?yàn)镚D＝GC＝GF，所以點(diǎn)G是經(jīng)過(guò)D，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)的圓的圓心．
所以GE＝GC，所以∠GCE＝∠GEC．   
又因?yàn)椤螱CE＋∠3＝90°，∠1＝∠3，
所以∠GEC＋∠3＝90°，所以∠AEH＋∠1＝90°，
所以∠EHA＝90°，即GE⊥AB．
考點(diǎn)：1、四點(diǎn)共圓；2、圓的切線的性質(zhì).