【題目】已知函數(shù)
．
（1）求函數(shù)
的圖象在
處的切線方程；
（2）若任意
，不等式
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）設
， 
，證明： 
．
【答案】（1）
（2） 
（3）見解析
【解析】試題分析：（1）本問考查導數(shù)的幾何意義， 
， 
，于是可得切線方程為
；（2）本問考查利用導數(shù)研究恒成立問題，不等式
恒成立
，設函數(shù)
，則轉(zhuǎn)化為當
時， 
恒成立，對函數(shù)
求導， 
，再令
，對
求導， 
，通過對
分區(qū)間討論，使得
恒成立，從而得到
的取值范圍；（3）首先通過微積分定理求出
，則
，由（2）知，當
時， 
，即
，構(gòu)造函數(shù)
，通過證明該函數(shù)的單調(diào)性，易得出
在
上恒成立，令
，于是通過不等式的放縮，可以得到待證明的結(jié)論.
試題解析：（1）
， 
，∴切線為
（2）
，令
則
又令
①當
，即
時， 
恒成立，∴
遞增
∴
，∴
，∴
遞增
∴
（不合題意）
②當
即
時， 
遞減，
∴
，∴
，∴
遞減
∴
（符合題意）
③當
，即
時，由
，∴在
上， 
，使
且
時， 
，∴
遞增，∴
（不符合題意）
綜上： 
.
（3）
∴
，由（2）知，當
時， 
，∴
，
又令
， 
，∴
遞減
即
在
上恒成立，令
∴原不等式
∴左式
右式
∴得證.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分12分） 某中學的環(huán)保社團參照國家環(huán)境標準制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應關系如下表（假設該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會超過
）：
空氣質(zhì)量指數(shù) |
|
|
|
|
|
|
空氣質(zhì)量等級 |
|
|
|
|
|
|
該社團將該校區(qū)在
年
天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為樣本，繪制的頻率分布直方圖如下圖，把該直方圖所得頻率估計為概率．
（Ⅰ）請估算
年（以
天計算）全年空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)(未滿一天按一天計算)；
（Ⅱ）該校
年
月
、
日將作為高考考場，若這兩天中某天出現(xiàn)
級重度污染，需要凈化空氣費用
元，出現(xiàn)
級嚴重污染，需要凈化空氣費用
元，記這兩天凈化空氣總費用為
元，求
的分布列及數(shù)學期望．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，某幾何體的三視圖中，俯視圖是邊長為2的正三角形，正視圖和左視圖分別為直角梯形和直角三角形，則該幾何體的體積為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列{an}的通項公式為an= 
﹣n．
（1）證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（2）求此數(shù)列的前二十項和S20 ．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線x2=y+1上一定點A（﹣1，0）和兩動點P，Q，當PA⊥PQ時，點Q的橫坐標的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，﹣3]
B.[1，+∞）
C.[﹣3，1]
D.（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，設不等式組 
所表示的平面區(qū)域是W，從區(qū)域W中隨機取點M（x，y）．
（1）若x，y∈Z，求點M位于第一象限的概率；
（2）若x，y∈R，求|OM|≥1的概率．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖（1）所示，已知四邊形
是由直角△
和直角梯形
拼接而成的，其中
.且點
為線段
的中點， 
， 
現(xiàn)將△
沿
進行翻折，使得二面角
的大小為
，得到圖形如圖（2）所示，連接
，點
分別在線段
上.
（1）證明： 
；
（2）若三棱錐
的體積為四棱錐
體積的
，求點
到平面
的距離.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某同學用“五點法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ 
）在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入的部分數(shù)據(jù)如表：
x |
|
| |||
ωx+φ | 0 |
| π |
| 2π |
Asin（ωx+φ） | 0 | 2 | 0 | ﹣2 |
（1）請將上表數(shù)據(jù)補全，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當x∈[0， ]時，求函數(shù)f（x）的值域．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若
,當
時,求函數(shù)
的最大值;
(3)若
且
,求證: 
.
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