Question

【題目】如圖，三棱柱的側(cè)面是平行四邊形，，平面平面，且分別是的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，平面.此時(shí)，

【解析】

（Ⅰ）由，利用面面垂直的性質(zhì)，證得平面，在線面垂直的性質(zhì)，即可得到.

（Ⅱ）取中點(diǎn)，連連，得到四邊形為平行四邊形，又由是的中點(diǎn)，證得，且，進(jìn)而得到，利用線面平行的判定定理，即可證得平面.

（Ⅲ）取的中點(diǎn)，連，連，由線面垂直的性質(zhì)，得到 , ，又在在△中，利用中位線得，再由（Ⅱ）知，進(jìn)而得到平面，得出結(jié)論.

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，又平面平面，

且平面平面，

所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，

所以.

（Ⅱ）取中點(diǎn)，連連.

在△中，因?yàn)?/span>分別是中點(diǎn)，

所以，且.

在平行四邊形中，因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，

所以，且.

所以，且.

所以四邊形是平行四邊形.

所以.

又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.

（Ⅲ）在線段上存在點(diǎn)，使得平面.

取的中點(diǎn)，連，連.

因?yàn)?/span>平面， 平面, 平面,

所以 , .

在△中，因?yàn)?/span>分別是中點(diǎn)，所以.

又由（Ⅱ）知，

所以 ，.

由 得平面.

故當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，平面.此時(shí)，.