Question

【題目】設(shè)函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在 內(nèi)無極值，求的取值范圍；

（3）設(shè)，求證： 。

Answer 1

【答案】（1）在， 單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系分析求解；（2）先將在問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用分類整合思想及導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析求解；（3）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行推證：

解：（1）當(dāng)時(shí)，

所以

當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)，

故在， 單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減

（2）若在內(nèi)無極值，則在上單調(diào)，

又

①若在上遞減，則，對(duì)恒成立，于是有

，令，

下面證明在上單調(diào)遞增：

令，則

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減，

在單調(diào)遞增。

當(dāng)時(shí)，由是增函數(shù)，得。

由，得；

②若在上單調(diào)遞增，則，對(duì)恒成立，于是

，當(dāng)時(shí)，由得，從而增函數(shù)

，這樣。綜上得

（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明 ①當(dāng)時(shí)， ，不等式成立；

②假設(shè)時(shí)不等式成立，即，

當(dāng)時(shí)，令

顯然，由歸納假設(shè)， 對(duì)成立，

所以 在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)， ，即當(dāng)

時(shí)，不等式也成立。

綜合①②時(shí)，不等式成立。