Question

已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足

PA

+2

PB

+3

PC

=

O

，記△ABP，△BCP，△ACP的面積依次為S₁，S₂，S₃，則S₁：S₂：S₃等于（　�。�

A．1：2：3

B．1：4：9

C．2：3：1

D．3：1：2

Answer 1

分析：根據(jù)已知的等式變形可得

BA

=-6

PD

，

PE

=-

1

3

BA

，從而得出P到BC的距離等于A到BC的距離的

1

6

，P到AC的距離等于B到AC的距離的

1

3

．從而有S₂ =

1

6

S，S₃ =

1

3

S，S₁ =S-S₂-S₃ =

1

2

S即可解決問(wèn)題．

解答：解：如圖：設(shè)D、E 分別為BC、AC的中點(diǎn)，
∵

PA

+2

PB

+3

PC

=0，∴

PA

-

PB

=-3（

PB

+

PC

），
∴

BA

=-3×2

PD

=-6

PD

，
同理由（

PA

+

PC

）=-2（

PB

+

PC

），即  2

PE

=-2×

PD

，
∴

PE

=-

1

3

BA

．∴P到BC的距離等于A到BC的距離的

1

6

，
設(shè)△ABC的面積為S，則S₂ =

1

6

S．
 P到AC的距離等于B到AC的距離的

1

3

，
∴S₃ =

1

3

S．∴S₁ =S-S₂-S₃ =

1

2

S．
∴S₁：S₂：S₃=

1

2

S：

1

6

S=

1

3

S=3：1：2，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用、共線向量的意義，兩個(gè)同底的三角形的面積之比等于底上的高之比，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．