Question

如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB = 90°，E是棱CC₁上中點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，AC = 1，BC = 2，AA₁ = 4.

（1）求證：CF∥平面AEB₁；（2）求三棱錐C－AB₁E的體積.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)試題解析;（2）

解析試題分析：（1）根據(jù)直線(xiàn)平行平面的判定定理，需要在平面AEB₁內(nèi)找一條與CF平行的直線(xiàn).根據(jù)題設(shè)，可取的中點(diǎn)，通過(guò)證明四邊形是平行四邊形來(lái)證明，從而使問(wèn)題得證.
（2）由題易得面，即面，就是三棱錐的高
所以求三棱錐的體積可轉(zhuǎn)化為求三棱錐的體積.
試題解析：（1）證明：取的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)
∵分別是棱、的中點(diǎn)，
∴
又∵
∴四邊形是平行四邊形，
∴
∵平面，平面
∴平面
（2）解： 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3f/5/q5b5d1.png" style="vertical-align:middle;" />底面，所以底面，
又 ，所以 
所以面，即面
所以點(diǎn)到平面的距離為 
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/39/0/qxgq54.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，即為2
所以.
考點(diǎn)：1、直線(xiàn)與平面平等的判定；2、直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)；3、空間幾何體的體積.