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        1. 如圖,四邊形均為菱形,設(shè)相交于點(diǎn),若,且.

          (1)求證:;
          (2)求二面角的余弦值.

          (1)證明過程詳見解析;(2)余弦值為.

          解析試題分析:本題主要考查線面平行、面面平行、二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查用空間向量解決立體幾何問題的方法,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.第一問,先根據(jù)菱形的定義得,,再根據(jù)線面平行的判定得,,再根據(jù)面面平行的判定得面,從而證明;第二問,先根據(jù)已知條件得建立空間直角坐標(biāo)系的最基本的條件,即兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,寫出點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面和平面的法向量,利用夾角公式求出夾角并判斷二面角為銳二面角,所以所求余弦值為正值.
          試題解析:(1) 證明:因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/08/f/footf1.png" style="vertical-align:middle;" />與均為菱形,
          所以,.
          因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5c/1/1vjwl3.png" style="vertical-align:middle;" />,,
          所以,    2分
          ,,,
          所以
          ,
          所以               4分
          (2) 連接,因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/77/3/56cnd2.png" style="vertical-align:middle;" />為菱形,且,所以為等邊三角形,
          因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cb/9/ubatj1.png" style="vertical-align:middle;" />為中點(diǎn).所以,
          又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cb/9/ubatj1.png" style="vertical-align:middle;" />為中點(diǎn),且,
          所以
          ,所以                    .6分
          兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
          設(shè),因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/08/f/footf1.png" style="vertical-align:middle;" />為菱形,,
          ,,
          所以       ..8分
          所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
          則有,所以,令,則
          因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d6/1/1zb093.png" style="vertical-align:middle;" />,所以平面的一個(gè)法向量為   .10分
          因?yàn)槎娼?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/55/0/7lubc2.png" style="vertical-align:middle;" />為銳二面角,設(shè)二面角的平面角為

          所以二面角的余弦值為                  ..12分
          考點(diǎn):1.線面平行的判定;2.面面平行的判定;3.空間向量法;4.夾角公式.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (1)求證:
          (2)將四面體繞母線轉(zhuǎn)動(dòng)一周,求的三邊在旋轉(zhuǎn)過程中所圍成的幾何體的體積.

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          (2)當(dāng)點(diǎn)F使得A1F+BF最小時(shí),判斷直線AE與A1F是否垂直,并證明的結(jié)論。

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          如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點(diǎn)

          (Ⅰ)證明:BC1//平面A1CD;
          (Ⅱ)設(shè)AA1=AC=CB=2,AB=,求三棱錐C一A1DE的體積.

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          如圖,四棱錐的底面是正方形,底面,,,點(diǎn)分別為棱、的中點(diǎn).

          (1)求證:平面;
          (2)求證:平面平面;
          (3)求三棱錐的體積.

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          如圖是一個(gè)直三棱柱被削去一部分后的幾何體的直觀圖與三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖.在直觀圖中,的中點(diǎn).又已知側(cè)視圖是直角梯形,俯視圖是等腰直角三角形,有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.

          (Ⅰ)求證:EM∥平面ABC;
          (Ⅱ)求出該幾何體的體積.

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          如圖,已知四棱錐平面,底面為直角梯形,,且,.

          (1)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),且設(shè),問當(dāng)為何值時(shí),平面,并證明你的結(jié)論;
          (2)當(dāng),且,求四棱錐的體積.

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          如圖,三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC,∠ACB = 90°,E是棱CC1上中點(diǎn),F(xiàn)是AB中點(diǎn),AC = 1,BC = 2,AA1 = 4.

          (1)求證:CF∥平面AEB1;(2)求三棱錐C-AB1E的體積.

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