(1)已知定點(diǎn)、
,動點(diǎn)N滿足
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),
,
,
,求點(diǎn)P的軌跡方程.
(2)如圖,已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為
,點(diǎn)
在橢圓上,且異于點(diǎn)
,直線
與直線
分別交于點(diǎn)
,
(ⅰ)設(shè)直線的斜率分別為
、
,求證:
為定值;
(ⅱ)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時,以
為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)?請證明你的結(jié)論.
(1);(2)
,以
為直徑的圓恒過定點(diǎn)
或
.
解析試題分析:本題主要考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)形結(jié)合思想,考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力和計(jì)算能力.第一問,利用得到N是
的中點(diǎn),數(shù)形結(jié)合,利用
得M、P、
共線,在三角形
中,利用中位線得
,利用
得到F1M⊥PN,在三角形
中,中點(diǎn)和高的垂足重合,得|PM|=|PF1|,由雙曲線的定義可知點(diǎn)P的軌跡為雙曲線,(ⅰ)利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo),設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),從而求出
和
,利用點(diǎn)P在橢圓上進(jìn)行
的轉(zhuǎn)化,計(jì)算出結(jié)果為常數(shù)即可,(ⅱ)設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo),根據(jù)已知條件求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo),寫出
坐標(biāo),利用
,列出等式,求出定點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析:(1)連接ON∵ ∴點(diǎn)N是MF1中點(diǎn) ∴|MF2|=2|NO|=2
∵ ∴F1M⊥PN ∴|PM|=|PF1|
∴|∣PF1|-|PF2∣|=||PM|-|PF2||=|MF2|=2<|F1F2|
由雙曲線的定義可知:點(diǎn)P的軌跡是以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線.
點(diǎn)P的軌跡方程是 4分
(2)(。,
,令
,則由題設(shè)可知
,
直線
的斜率
,
的斜率
,
又點(diǎn)在橢圓上,所以
(
),
從而有. 8分
(ⅱ)設(shè)點(diǎn)是以
為直徑的圓上任意一點(diǎn),則
,又易求
得、
.
所以、
.
故有.又
,化簡后得到以
為直徑的圓的方程為. 11分
令,解得
或
. 13分
所以以為直徑的圓恒過定點(diǎn)
或
. 14分
考點(diǎn):雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率
,且直線
是拋物線
的一條切線.
(1)求橢圓的方程;
(2)點(diǎn)P 為橢圓上一點(diǎn),直線
,判斷l(xiāng)與橢圓的位置關(guān)系并給出理由;
(3)過橢圓上一點(diǎn)P作橢圓的切線交直線于點(diǎn)A,試判斷線段AP為直徑的圓是否恒過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖已知拋物線:
過點(diǎn)
,直線
交
于
,
兩點(diǎn),過點(diǎn)
且平行于
軸的直線分別與直線
和
軸相交于點(diǎn)
,
.
(1)求的值;
(2)是否存在定點(diǎn),當(dāng)直線
過點(diǎn)
時,△
與△
的面積相等?若存在,求出點(diǎn)
的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:
(
)的右焦點(diǎn)
,右頂點(diǎn)
,且
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若動直線:
與橢圓
有且只有一個交點(diǎn)
,且與直線
交于點(diǎn)
,問:是否存在一個定點(diǎn)
,使得
.若存在,求出點(diǎn)
坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的方程為
,其中
.
(1)求橢圓形狀最圓時的方程;
(2)若橢圓最圓時任意兩條互相垂直的切線相交于點(diǎn)
,證明:點(diǎn)
在一個定圓上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知是橢圓
上兩點(diǎn),點(diǎn)
的坐標(biāo)為
.
(1)當(dāng)關(guān)于點(diǎn)
對稱時,求證:
;
(2)當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)
時,求證:
不可能為等邊三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的短半軸長為
,動點(diǎn)
在直線
(
為半焦距)上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求以為直徑且被直線
截得的弦長為
的圓的方程;
(3)設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn),過點(diǎn)
作
的垂線與以
為直徑的圓交于點(diǎn)
,
求證:線段的長為定值,并求出這個定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)
,離心率為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線與橢圓
交于
兩點(diǎn),點(diǎn)
是橢圓
的右頂點(diǎn).直線
與直線
分別與
軸交于點(diǎn)
,試問以線段
為直徑的圓是否過
軸上的定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|,點(diǎn)E滿足=λ
,雙曲線過C、D、E三點(diǎn),且以A、B為焦點(diǎn).當(dāng)
≤λ≤
時,求雙曲線離心率e的取值范圍.
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