Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知四邊形是邊長為的正方形，點(diǎn)在底面上的射影為底面的中心點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且的面積為1．

（1）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面平面；

（2）在棱上是否存在一點(diǎn)使得二面角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在點(diǎn)符合題意，點(diǎn)為棱靠近端點(diǎn)的三等分點(diǎn)

【解析】

（1）利用等腰三角形“三線合一”證明平面,進(jìn)而證明平面平面；

（2）分別以為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),利用平面的法向量求二面角,進(jìn)而計算得到即可

（1）∵點(diǎn)在底面上的射影為點(diǎn),∴平面,

∵四邊形是邊長為的正方形,∴,

∵三角形的面積為1,∴,即,∴,

∵,點(diǎn)是的中點(diǎn),

∴,同理可得,

又因為,平面,

∴平面,

∵平面,

∴平面平面

（2）存在,

如圖,連接,易得兩兩互相垂直,

分別以為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則,假設(shè)存在點(diǎn)使得二面角的余弦值為,

不妨設(shè),

∵點(diǎn)在棱上,∴,

又,

∴,

∴,

,,

設(shè)平面的法向量為,則,∴,

令,可得,∴平面的一個法向量為,

又平面的一個法向量為,二面角的余弦值為,

∴,即,

解得或（舍）

所以存在點(diǎn)符合題意,點(diǎn)為棱靠近端點(diǎn)的三等分點(diǎn)