Question

【題目】連結(jié)圓周上九個(gè)不同點(diǎn)的36條弦要么染成紅色，要么染成藍(lán)色，我們稱它們?yōu)?/span>“紅邊”或“藍(lán)邊”.假定由這九個(gè)點(diǎn)中每三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中都含有“紅邊”.證明：這九個(gè)點(diǎn)中存在四個(gè)點(diǎn)，兩兩連結(jié)的六條邊都是紅邊.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

圓周上九個(gè)點(diǎn)中任三點(diǎn)均不共線，任四點(diǎn)都是一凸四邊形的頂點(diǎn).設(shè)這九個(gè)點(diǎn)為，，…，.顯然每個(gè)都要與其他八個(gè)點(diǎn)有邊相連.

（1）若存在一點(diǎn)向其他點(diǎn)引出至少四條藍(lán)邊，不妨設(shè)這四條藍(lán)邊為，，，.則，，，，，均為紅邊.即存在四點(diǎn)，，，，其中每?jī)牲c(diǎn)連的都是紅邊（如圖）.

（2）若每一點(diǎn)向其余點(diǎn)引出的藍(lán)邊不多于3條.這時(shí)每?jī)牲c(diǎn)向其余點(diǎn)連的紅邊至少為5條.如果每一點(diǎn)都恰引出5條紅邊，則九個(gè)點(diǎn)恰引出條紅邊.這不可能，因?yàn)檫厰?shù)必為整數(shù).所以，必存在某個(gè)點(diǎn)，比如點(diǎn)，到其他點(diǎn)連的紅邊至少為6條.不妨設(shè)與，，，，，連的，，，，，都是紅邊，這時(shí)五條邊，，，，中至少有三條同色.不妨設(shè)，，同色.

①若，，同為藍(lán)邊，因，，均為紅邊，此時(shí)，，，四點(diǎn)所連六條邊均為紅邊（如圖）.

②若，，同為紅邊，則三邊依條件不能全是藍(lán)邊，即至少有一條紅邊.不妨設(shè)為紅邊，這時(shí)，，，四點(diǎn)所連的六條邊均為紅邊（如圖）.

綜上所述，問題得證.