Question

【題目】如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB= ,AD=2,E,F為線(xiàn)段AB的三等分點(diǎn)，G、H為線(xiàn)段DC的三等分點(diǎn)．將長(zhǎng)方形ABCD卷成以AD為母線(xiàn)的圓柱W的半個(gè)側(cè)面，AB、CD分別為圓柱W上、下底面的直徑．

（Ⅰ）證明：平面ADHF⊥平面BCHF；

（Ⅱ）若P為DC的中點(diǎn)，求三棱錐H—AGP的體積．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

(1)在下底面圓周上，且為下底面半圓的直徑,得到DH垂直于HC，進(jìn)而得到平面，最終根據(jù)面面垂直的判定定理得到面面垂直；(2) 三棱錐的體積，因?yàn)?/span>為的三等分點(diǎn)結(jié)合題干條件得到均為邊長(zhǎng)等于的等邊三角形，進(jìn)而求得結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>在下底面圓周上，且為下底面半圓的直徑

所以

又因?yàn)?/span>，且，所以平面

又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面

（2）設(shè)下底面半徑為，

由題，所以，

因?yàn)橄碌酌姘雸A圓心為，

所以

又因?yàn)?/span>為的三等分點(diǎn)，

所以均為邊

長(zhǎng)等于的等邊三角形，

所以的面積

所以三棱錐的體積