Question

如圖所示，直線AD、CD、BC兩兩垂直，且AD與BC不在同一平面內(nèi)．已知BC=3，CD=4，AB=13，點(diǎn)M、N分別為線段AB、AC的中點(diǎn)．
（1）證明：直線BC∥平面MND；
（2）證明：平面MND⊥平面ACD；
（3）求三棱錐A-MND的體積．

Answer 1

分析：（1）要證明線面平行，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條可能與已知直線平行的直線，觀察到平面BDM中三條已知直線與PC都不平行，故我們要考慮在平面BDM中做一條與PC可能平行直線輔助線，然后再進(jìn)行證明．
（2）要求二面角的余弦，要先構(gòu)造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出這個(gè)平面角的余弦值，進(jìn)而給出二面角的余弦值．
（3）要求三棱錐的體積，只要求出底面的面積，及對(duì)應(yīng)的高代入棱錐體積公式，即可求解．

解答：證明：（Ⅰ）∵M(jìn)、N分別是AB與AC的中點(diǎn)，
∴MN∥BC
又∵M(jìn)N?平面MND，BC?平面MND，
∴BC∥平面MND，

（Ⅱ）∵BC⊥CD，BC⊥AD，CD∩AD=D，
∴BC⊥面ACD，
又∵M(jìn)N∥BC
∴MN⊥平面ACD，
又∵M(jìn)N?平面MND，
平面MND⊥平面ACD

（Ⅲ）V_A-MND=V_M-AND
∵M(jìn)N⊥平面ACD（已證），
∴MN是三棱錐M-AND的高，
在Rt△BCD中，
BD=

BD2+CD2

=

32+42

=5，
在Rt△ADB中，
AD=

AB2-BD2

=

132-52

=12
∵N是AC的中點(diǎn)，AD⊥CD，
∴S△AND=

1

2

S_△ACD═

1

4

CD•AD=

1

4

×4×12=12
∴V_A-MND=V_M-AND=

1

3

S_△AND•MN=

1

3

×12×

3

2

=6．

點(diǎn)評(píng)：判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無(wú)公共點(diǎn)）；②利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性質(zhì)定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性質(zhì)（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據(jù)．垂直問(wèn)題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說(shuō)，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來(lái)．本題也可以用空間向量來(lái)解決，其步驟是：建立空間直角坐標(biāo)系?明確相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)?明確相關(guān)向量的坐標(biāo)?通過(guò)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解．