Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，圓，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，線段的中垂線與線段交于點(diǎn).

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，且存在點(diǎn)（其中不共線），使得被軸平分，證明：直線過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)中垂線性質(zhì)得，即得，再根據(jù)橢圓定義確定軌跡方程，（2）因?yàn)?/span>被軸平分，所以，設(shè)坐標(biāo)代入表示得 ，設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)，最后根據(jù)方程恒成立條件得直線過(guò)定點(diǎn).

試題解析：（1）由已知， ，圓的半徑為

依題意有： ，

故點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即

故點(diǎn)P的軌跡E的方程為

（2）令，因A，B，D不共線，故的斜率不為0，可令的方程為： ，則由

得

則 ①

被軸平分，

即，亦即 ②

而 代入②得：

③

①代入③得：

時(shí)得： 此時(shí)的方程為： 過(guò)定點(diǎn)（1，0）

時(shí) ， 亦滿足，此時(shí)的方程為：

綜上所述，直線恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）