Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓C上，則點(diǎn)稱為點(diǎn)M的一個(gè)“橢點(diǎn)”.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為P，Q，以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷的面積是否為定值?若為定值，求出定值；若不為定值，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）為定值，

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率為，得到，又過點(diǎn)，得到 ，聯(lián)立求解.

（2）設(shè)，則.聯(lián)立直線與橢圓的方程，由于以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，即從而得到，再求得弦長(zhǎng)

，點(diǎn)o到直線的距離，得到再求解..

（1）根據(jù)題意得，

解得

所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)，則.

由于以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，即.

由， ，即，

由韋達(dá)定理得 ， .

代入，得，

，

原點(diǎn)到直線AB的距離為：.

所以

所以的面積為定值.