Question

【題目】設(shè)，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).

（3）求，的坐標(biāo)；

（4）若直線，，的斜率之和為0，求的所有整數(shù)值.

Answer 1

【答案】（1），；（2），，，，.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件中給出的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；（2）設(shè)出直線的方程，將其與橢圓方程聯(lián)立后利用韋達(dá)定理結(jié)合條件斜率之和為0可得到的函數(shù)表達(dá)式，求得其范圍后即可求解.

試題解析：（1）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，可知，；（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性可知；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，，，

由題意得，，直線的斜率為，直線的斜率為，

直線的斜率為，由題意得，

化簡(jiǎn)整理得，

將直線方程代入橢圓方程，化簡(jiǎn)整理得

，

由韋達(dá)定理得，，代入并化簡(jiǎn)整理得

，從而，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，故的所有整數(shù)值是，，，，.