Question

已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù).若至少存在一個(gè)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）

遞減	遞增	遞減	遞增	遞增

其中    
（2）.

試題分析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010555163566.png" style="vertical-align:middle;" />，．設(shè) ，                  
①當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，則在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減． 
②當(dāng)時(shí)，（I）由得.
當(dāng)時(shí)，恒成立，
在上單調(diào)遞增． 當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減．
（II）由得或；.當(dāng)時(shí)，開口向下，在上恒成立，則在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減．
當(dāng) ，開口向上，在上恒成立，則在上恒成立，
此時(shí) 在上單調(diào)遞增．
（III）由得
若，開口向上，，且，，都在上. 由，即，得或；
由，即，得．
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
單調(diào)遞減區(qū)間為．  
當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，在
恒成立，即在（0，+恒成立，所以在單調(diào)遞減
綜上所述：

遞減	遞增	遞減	遞增	遞增

其中    
（2）因?yàn)榇嬖谝粋�(gè)使得，
則，等價(jià)于.令，等價(jià)于“當(dāng) 時(shí)，”.
對(duì)求導(dǎo)，得. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010556879508.png" style="vertical-align:middle;" />，由，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.   
由于，所以，因此.
點(diǎn)評(píng)：近幾年新課標(biāo)高考對(duì)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)這一綜合問題的命制，一般以有理函數(shù)與半超越（指數(shù)、對(duì)數(shù)）函數(shù)的組合復(fù)合且含有參量的函數(shù)為背景載體，解題時(shí)要注意對(duì)數(shù)式對(duì)函數(shù)定義域的隱蔽，這類問題重點(diǎn)考查函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、不等式方程的求解等基本知識(shí)，注重?cái)?shù)學(xué)思想（分類與整合、數(shù)與形的結(jié)合）方法（分析法、綜合法、反證法）的運(yùn)用.把數(shù)學(xué)運(yùn)算的“力量”與數(shù)學(xué)思維的“技巧”完美結(jié)合