Question

已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若，證明：．

Answer 1

（1）（0，＋∞）（2）由⑴知，當(dāng)x∈（－1，0）時(shí)，＞0，當(dāng)x∈（0，＋∞）時(shí)，＜0，因此，當(dāng)時(shí)，≤，即≤0∴ ．
令，則＝∴ 當(dāng)x∈（－1，0）時(shí)，＜0，當(dāng)x∈（0，＋∞）時(shí)，＞0．∴ 當(dāng)時(shí)，≥，即 ≥0，∴ 綜上可知，當(dāng)時(shí)，有

試題分析：⑴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010237854526.png" style="vertical-align:middle;" />．＝－1＝－.
由<0及x>－1，得x>0．∴ 當(dāng)x∈（0，＋∞）時(shí)，f(x)是減函數(shù)，即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，＋∞）．
⑵證明：由⑴知，當(dāng)x∈（－1，0）時(shí)，＞0，當(dāng)x∈（0，＋∞）時(shí)，＜0，
因此，當(dāng)時(shí)，≤，即≤0∴ ．
令，則＝．……………8分
∴ 當(dāng)x∈（－1，0）時(shí)，＜0，當(dāng)x∈（0，＋∞）時(shí)，＞0．
∴ 當(dāng)時(shí)，≥，即 ≥0，∴ ．
綜上可知，當(dāng)時(shí)，有．……………………………………12分
點(diǎn)評(píng)：求單調(diào)區(qū)間時(shí)首先確定其定義域，第二問(wèn)將證明不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，進(jìn)而可利用導(dǎo)數(shù)通過(guò)求其最值確定不等式的正確性