Question

直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，該橢圓上點(diǎn)P使△PAB的面積等于6，這樣的點(diǎn)P有（ ）
A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：聯(lián)解直線與橢圓方程，得A（4，0）、B（0，3），得|AB|=5，結(jié)合△PAB的面積等于6算出P到AB的距離為d為．然后求出與已知直線平行，且與橢圓相切的直線l₁與l₂，算出兩條直線一條與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)而另一條與橢圓無交點(diǎn)，由此即可得到使△PAB的面積等于6的點(diǎn)P有2個(gè)．
解答：解：聯(lián)解直線與橢圓，得或
∴直線與橢圓的交點(diǎn)為A（4，0）和B（0，3），得|AB|==5
設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為d，則S_△PAB=×|AB|×d=6
即×5×d=6，解之得d=
再設(shè)平行于直線與橢圓相切的直線為3x+4y+m=0
與橢圓聯(lián)解，可得m=
由此可得兩條平行于直線的切線分別為
l₁：3x+4y+12=0和l₂：3x+4y-12=0
∵l₁與直線的距離d₁==（）＜
l₂直線的距離d₂==（）＞
∴l(xiāng)₁與l₂中，l₁與橢圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)，
而l₂橢圓相離，沒有交點(diǎn)．因此有兩個(gè)P點(diǎn)使△PAB的面積等于6
故選：B
點(diǎn)評(píng)：本題給出直線與橢圓相交于A、B，求橢圓上點(diǎn)P，滿足使△PAB的面積等于6的點(diǎn)的個(gè)數(shù)．著重考查了橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．