Question

已知橢圓的中心是坐標原點O，它的短軸長為2，右焦點為F，右準線l與x軸相交于點E，

FE

=

OF

，過點F的直線與橢圓相交于A，B兩點，點C和點D在l上，且AD∥BC∥x軸．
（I）求橢圓的方程及離心率；
（II）當|BC|=

1

3

|AD|時，求直線AB的方程；
（III）求證：直線AC經(jīng)過線段EF的中點．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓的標準方程，根據(jù)短軸長求得b，進而根據(jù)

FE

=

OF

聯(lián)立方程組，求得a和c，則橢圓的方程和離心率可得．
（2）求得點P的坐標，設(shè)直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根據(jù)一元二次方程求得x₁和x₂的表達式，根據(jù)AD∥BC∥x軸，且|BC|=

1

3

|AD|，可知

a2

c

-x2=

1

3

(

a2

c

-x1)求得k，則直線AB的方程可得．
（3）根據(jù)F和E的坐標，求得N的坐標，當AB⊥x軸時A，B，C的坐標可知，進而求得AC中點的坐標，判斷出AC經(jīng)過線段EF的中點N；當AB不垂直x軸時，則直線AB斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），分別表示出AN和CN的斜率，進而表示出兩斜率之差求得結(jié)果為0，可知k₁=k₂且AN，CN有公共點N，進而可知A，C，N三點共線．推斷出直線AC經(jīng)過線段EF的中點N．最后綜合可得結(jié)論．

解答：解：（I）設(shè)橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0).
由2b=2得b=1．
又

FE

=

OF

，∴

a2-c2=1 c= a2 c -c.

解得a=

2

，c=1．
∴橢圓方程為：

x2

2

+y2=1．
離心率e=

c

a

=

2

2

．
（II）由（I）知點F坐標為（1，0），又直線AB的斜率存在，設(shè)AB的斜率為k，
則AB的方程為y=k（x-1）．
由

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0（*）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是（*）方程兩根，且x₁＜x₂，
∴x1=

2k2- 2k2+2

1+2k2

，x2=

2k2+ 2k2+2

1+2k2

．
∵AD∥BC∥x軸，且|BC|=

1

3

|AD|，
∴

a2

c

-x2=

1

3

(

a2

c

-x1)即2-

2k2+ 2k2+2

1+2k2

=

1

3

(2-

2k2- 2k2+2

1+2k2

)，解得k=±1．
∴直線AB的方程為x-y-1=0或x+y-1=0．
（III）∵點F（1，0），E（2，0），∴EF中點N的坐標為(

3

2

，0)．
①當AB⊥x軸時，A（1，y₁），B（1，-y₁），C（2，-y₁），
那么此時AC的中點為(

3

2

，0)，即AC經(jīng)過線段EF的中點N．
2當AB不垂直x軸時，則直線AB斜率存在，
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），
由（*）式得x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

．
又∵x₁²=2-2y₁²＜2，得x1-

3

2

≠0，
故直線AN，CN的斜率分別為k1=

y1

x1- 3 2

=

2k(x1-1)

2x1-3

，k2=

y2

2- 3 2

=2k(x2-1)，
∴k1-k2=2k•

(x1-1)-(x2-1)(2x1-3)

2x1-3

．
又∵（x₁-1）-（x₂-1）（2x₁-3）=3（x₁+x₂）-2x₁x₂-4，
=

1

1+2k2

[12k2-4(k2-1)-4(1+2k2)]=0．
∴k₁-k₂=0，即k₁=k₂．
且AN，CN有公共點N，∴A，C，N三點共線．
∴直線AC經(jīng)過線段EF的中點N．
綜上所述，直線AC經(jīng)過線段EF的中點．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程．涉及了直線與橢圓的關(guān)系，在設(shè)直線方程的時候，一定要考慮斜率不存在時的情況，以免答案不全面．