Question

已知定點(diǎn)C（-1，0）及橢圓x²+3y²=5，過點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-

1

2

，求直線AB的方程；
（Ⅱ）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使

MA

•

MB

為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)出直線AB的方程，將直線方程代入橢圓，用設(shè)而不求韋達(dá)定理方法表示出中點(diǎn)坐標(biāo)，此時(shí)代入已知AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可求出直線AB的方程．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M，使

MA

•

MB

為常數(shù)．分別分當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)以及當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．最后綜合兩種情況得出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），
將y=k（x+1）代入x²+3y²=5，消去y整理得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

△=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)＞0，(1) x1+x2=- 6k2 3k2+1 ．(2)

由線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-

1

2

，得

x1+x2

2

=-

3k2

3k2+1

=-

1

2

，
解得k=±

3

3

，適合（1）．
所以直線AB的方程為x-

3

y+1=0，或x+

3

y+1=0．

（Ⅱ）解：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M（m，0），使

MA

•

MB

為常數(shù)．
①當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，由（Ⅰ）知x1+x2=-

6k2

3k2+1

，x1x2=

3k2-5

3k2+1

．(3)
所以

MA

•

MB

=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)
=（k²+1）x₁x₂+（k²-m）（x₁+x₂）+k²+m²
將（3）代入，整理得

MA

•

MB

=

(6m-1)k2-5

3k2+1

+m2=

(2m- 1 3 )(3k2+1)-2m- 14 3

3k2+1

+m2
=m2+2m-

1

3

-

6m+14

3(3k2+1)

.
注意到

MA

•

MB

是與k無關(guān)的常數(shù)，從而有6m+14=0，m=-

7

3

，此時(shí)

MA

•

MB

=

4

9

.
②當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-1，

2

3

)、(-1，-

2

3

)，
當(dāng)m=-

7

3

時(shí)，亦有

MA

•

MB

=

4

9

.
綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M(-

7

3

，0)，使

MA

•

MB

為常數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的一般方程以及直線與圓錐曲線的關(guān)系求法．通過運(yùn)用設(shè)而不求韋達(dá)定理方法，以及向量垂直關(guān)系的利用求解．考查對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．