Question

【題目】已知曲線

若，過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，且，求直線的方程；

若曲線表示圓，且直線與圓交于兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）或 (即)（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)垂徑定理求出圓心到直線距離為1 ，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求直線的斜率，即得直線方程，（2）先根據(jù)曲線表示圓得實(shí)數(shù)取值范圍為.再根據(jù)以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)得，利用向量數(shù)量積可得，根據(jù)直線方程進(jìn)一步化簡(jiǎn)得，最后聯(lián)立直線方程與圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得．

試題解析：解(1) 當(dāng)時(shí), 曲線C是以為圓心,2為半徑的圓,

若直線的斜率不存在,顯然不符，

故可直線為: ，即．

由題意知，圓心到直線的距離等于，

即:

解得或.故的方程或 (即)

(2)由曲線C表示圓，即，

所以圓心C（1,2），半徑，則必有.

假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則，設(shè)，

則，由得

，即，又，

故,從而

, 故存在實(shí)數(shù)使得以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)， ．