Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=

- 1 x +a，x＜0 x (x-a)-1，x＞0

（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)任何x∈R，且x≠0，都有f（x）＞x-1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=2時(shí)，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=-

1

x

+2，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=

x

(x-2)-1，可用導(dǎo)數(shù)判單調(diào)性；
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞x-1?-

1

x

+a＞x-1?a＞

1

x

+x-1，轉(zhuǎn)化為求

1

x

+x-1的最大值問題
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞x-1?

x

(x-a)-1＞x-1，即a＜x-

x

，轉(zhuǎn)化為求x-

x

的最小值，可用導(dǎo)數(shù)求解．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=-

1

x

+2，
因?yàn)?span id="9otx5n5" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f′(x)=

1

x2

＞0，所以f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)；
當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=

x

(x-2)-1，f′(x)=

3

2

x

-

1

x

，由f′（x）＞0，解得x＞

2

3

，由f′（x）＜0，解得0＜x＜

2

3

，
所以f（x）在(

2

3

，+∞)上為增函數(shù)，在(0，

2

3

)上為減函數(shù)．
綜上，f（x）增區(qū)間為（-∞，0）和(

2

3

，+∞)，減區(qū)間為(0，

2

3

)．
（Ⅱ）當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）＞x-1，得-

1

x

+a＞x-1，即a＞

1

x

+x-1，
設(shè)g(x)=

1

x

+x-1，
所以g(x)=-[(-

1

x

)+(-x)]-1≤-2

(-x)•(- 1 x )

-1=-3（當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào)），
所以當(dāng)x=-1時(shí)，g（x）有最大值-3，
因?yàn)閷?duì)任何x＜0，不等式a＞

1

x

+x-1恒成立，所以a＞-3；
當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）＞x-1，得

x

(x-a)-1＞x-1，即a＜x-

x

，
設(shè)h(x)=x-

x

，則h(x)=x-

x

=(

x

-

1

2

)2-

1

4

，
所以當(dāng)

x

=

1

2

，即x=

1

4

時(shí)，h（x）有最小值-

1

4

，
因?yàn)閷?duì)任何x＞0，不等式a＜x-

x

恒成立，所以a＜-

1

4

．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為-3＜a＜-

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性判斷、已知不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，綜合性強(qiáng)，難度較大．