Question

17、設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=2x³+（6-3a）x²-12ax+2．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把a(bǔ)=1代入導(dǎo)函數(shù)確定出導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后把x=0代入導(dǎo)函數(shù)中求出值即為切線的斜率，把x=0代入
f（x）的解析式中求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)f（0），然后根據(jù)求出的切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫(xiě)出切線的方程即可；
（Ⅱ）令導(dǎo)函數(shù)等于0求出此時(shí)x的值，然后分a大于等于2和a小于2大于-2兩種情況，由x的值討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)的增減性即可得到函數(shù)的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=6[x²+（2-a）x-2a]=6（x+2）（x-a）．（3分）
當(dāng)a=1時(shí)，f'（0）=-12，?f（0）=2，
所以切線方程為y-2=-12x，即12x+y-2=0．（6分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，解得：x₁=-2，x₂=a．
①a≥2，則當(dāng)x∈（-2，2）時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（-2，2）上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，最小值為f（2）=42-36a．（8分）
②-2＜a＜2，則當(dāng)x∈（-2，2）時(shí)，
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

所以，當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，最小值為f（a）=-a³-6a²+2．（11分）
③a≤-2，則當(dāng)x∈（-2，2）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-2，2）上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，最小值為f（-2）=10+12a．（13分）
綜上，當(dāng)a≤-2時(shí)，f（x）的最小值為10+12a；當(dāng)-2＜a＜2時(shí)，f（x）的最小值為-a³-6a²+2；
當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）的最小值為42-36a．（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)根據(jù)斜率和一點(diǎn)寫(xiě)出直線的方程，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，是一道綜合題．