【題目】某中學(xué)用簡單隨機(jī)抽樣方法抽取了100名同學(xué)，對其社會實踐次數(shù)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：
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男同學(xué)人數(shù) | 7 | 15 | 11 | 12 | 2 | 1 |
女同學(xué)人數(shù) | 5 | 13 | 20 | 9 | 3 | 2 |
若將社會實踐次數(shù)不低于12次的學(xué)生稱為“社會實踐標(biāo)兵”．
（Ⅰ）將頻率視為概率，估計該校1600名學(xué)生中“社會實踐標(biāo)兵”有多少人？
（Ⅱ）從已抽取的8名“社會實踐標(biāo)兵”中隨機(jī)抽取4位同學(xué)參加社會實踐表彰活動．
（i）設(shè)
為事件“抽取的4位同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)”，求事件發(fā)生的概率；
（ii）用
表示抽取的“社會實踐標(biāo)兵”中男生的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）（i）
；（ii）見解析
【解析】
（Ⅰ）計算出樣本中“社會實踐標(biāo)兵”的頻率，從而估計出總體中的人數(shù)；（Ⅱ）（i）計算出
，利用對立事件概率公式求得結(jié)果；（ii）首先確定
所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布求解出每個取值對應(yīng)的概率，從而得到分布列；再根據(jù)數(shù)學(xué)期望計算公式求得結(jié)果.
（Ⅰ）樣本中“社會實踐標(biāo)兵”不低于
次的學(xué)生有
人
該校學(xué)生中“社會實踐標(biāo)兵”有：
人
（Ⅱ）名“社會實踐標(biāo)兵”中有男同學(xué)
人，女同學(xué)
人
（i）
為“抽取的
位同學(xué)全是女同學(xué)” 
（ii）由題意知：所有可能的取值為：
；
；
；
則的分布列如下：
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：
（I） 取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（II） 取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】立德中學(xué)和樹人中學(xué)各派一名學(xué)生組成一個聯(lián)隊參加一項智力競賽，這個智力競賽一共兩輪，在每一輪中，兩名同學(xué)各回答一次題目，已知，立德中學(xué)派出的學(xué)生每輪中答對問題的概率都是
，樹人中學(xué)派出的學(xué)生每輪中答對問題的概率都是
；每輪中，兩位同學(xué)答對與否互不影響，各論結(jié)果亦互不影響，求：
（Ⅰ）兩輪比賽后，立德中學(xué)的學(xué)生恰比樹人中學(xué)的學(xué)生答對題目的個數(shù)多
個的概率；
（Ⅱ）兩輪比賽后，記
為這兩名同學(xué)一共答對的題目數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，四邊形
與
均為菱形，
，且
.
（Ⅰ）求證：
平面；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）若
為線段
上的一點，且滿足直線
與平面
所成角的正弦值為
，求線段
的長.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）當(dāng)
時，求曲線
在點
處的切線方程；
（2）當(dāng)
時，求函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值和最小值；
（3）若對任意的
，均存在
，使得
，求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某市隨機(jī)抽取部分企業(yè)調(diào)查年上繳稅收情況（單位：萬元），將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），年上繳稅收范圍是 
，樣本數(shù)據(jù)分組為
，
．
（Ⅰ）求直方圖中
的值；
（Ⅱ）如果年上繳稅收不少于
萬元的企業(yè)可申請政策優(yōu)惠，若共抽取企業(yè)
個，試估計有多少企業(yè)可以申請政策優(yōu)惠；
（Ⅲ）從企業(yè)中任選
個，這個企業(yè)年上繳稅收少于
萬元的個數(shù)記為 
，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．（以直方圖中的頻率作為概率）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖所示的幾何體中，
垂直于梯形
所在的平面，
為
的中點，
，四邊形
為矩形，線段
交
于點
.
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的正弦值；
（3）在線段
上是否存在一點
，使得
與平面
所成角的大小為
？若存在，求出
的長；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
為單位正方體，黑白兩只螞蟻從點
出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”，白螞蟻爬行的路線是
，黑螞蟻爬行的路線是
，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第
段與第
段所在直線必須是異面直線（其中是自然數(shù)），設(shè)黑、白螞蟻都走完2012段后各停止在正方體的某個頂點處，這時黑、白兩只螞蟻的距離是______________．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】教育學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)加強語文閱讀理解訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān)，某校興趣小組為了驗證這個結(jié)論，從該校選擇甲乙兩個同類班級進(jìn)行試驗，其中甲班加強閱讀理解訓(xùn)練，乙班常規(guī)教學(xué)無額外訓(xùn)練，一段時間后進(jìn)行數(shù)學(xué)應(yīng)用題測試，統(tǒng)計數(shù)據(jù)情況如下面的
列聯(lián)表（單位：人）
優(yōu)秀人數(shù) | 非優(yōu)秀人數(shù) | 總計 | |
甲班 |
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乙班 |
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總計 |
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（1）能否據(jù)此判斷有
把握認(rèn)為加強語文閱讀訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān)？
（2）經(jīng)過多次測試后，小明正確解答一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時間在
分鐘，小剛正確解答一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時間在
分鐘，現(xiàn)小明、小剛同時獨立解答同一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題，求小剛比小明先正確解答完的概率；
（3）現(xiàn)從乙班成績優(yōu)秀的
名同學(xué)中任意抽取兩人，并對他們的答題情況進(jìn)行全程研究，記
兩人中被抽到的人數(shù)為
，求的分布列及數(shù)學(xué)期望
．
附表及公式：
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