Question

【題目】如圖，已知橢圓，點是它的右端點，弦過橢圓的中心，，.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設、為圓上不重合的兩點，的平分線總是垂直于軸，且存在實數(shù)，使得，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先求出的值，再求出點的坐標，并將點的坐標代入橢圓方程，得出的值，即可得出橢圓的標準方程；

（2）先由已知條件得出直線和直線的斜率互為相反數(shù)，可設直線的方程為，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點的坐標，同理得出點的坐標，利用向量的坐標運算得出實數(shù)的表達式，再利用基本不等式可求出的最大值．

（1）依題意可知，，.

又，，是等腰直角三角形，，.又點在橢圓上，，，因此，所求橢圓的標準方程為；

（2）如下圖所示：

對于橢圓上兩點、，的平分線總是垂直于軸，

與所在直線關于直線對稱.

設，則，

則直線的方程為，①

直線的方程為，②

將①代入，得.③

在橢圓上，是方程③的一個根，，

以替換，得到.

，，

易知，，，，則，

，

當且僅當時，即當時，等號成立，

因此，實數(shù)的最大值為.