Question

【題目】如圖，已知橢圓（）與圓：在第一象限相交于點，橢圓的左、右焦點，都在圓上，且線段為圓的直徑.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過點的動直線與橢圓交于，兩點，為坐標(biāo)原點，證明：為定值，并求出這個定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，定值為.

【解析】

（1）由圓的方程可得與軸的交點坐標(biāo)即橢圓的焦點坐標(biāo)，和圓的半徑，由題意可得的值，再由存在求出，再由橢圓的定義可得橢圓的方程；

（2）分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論，設(shè)直線的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進而求出數(shù)量積的值為定值．

解：（1）在圓的方程中，令，得，即，所以.

將圓的方程化為，則圓半徑為，所以.

連結(jié)，因為點在圓上，為圓的直徑，則.

又，則.

據(jù)橢圓定義，，則.

從而，所以橢圓的方程是；

（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的斜率為，則的方程為，代入橢圓方程，得

，即.

設(shè)點，.則，.

所以

，

當(dāng)的斜率不存在時，直線與軸重合，此時點，，，

綜上分析，為定值．