Question

橢圓C₁的中心在原點，過點（0，

3

），且右焦點F₂與圓C₂：（x-1）²+y²=

1

4

的圓心重合．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）若點P是橢圓上的動點，EF是圓C₂的任意一條直徑，求

PE

•

PF

的最大值．
（3）過點F₂的直線l交橢圓于M、N兩點，問是否存在這樣的直線l，使得以MN為直徑的圓過橢圓的左焦點F₁？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由；

Answer 1

分析：（1）依題意得c=1，a²=b²+c²=4．由此可求出橢圓C₁的方程．
2）

PE

•

PF

=(

F2E

-

F2P

)  •(

F2F

-

F2P

)=-

1

2

×

1

2

cosπ-0+|

F2P

|2-

1

4

+ |

F2P

|2，由此可求出

PE

•

PF

的最大值．
（3）由題意知F₁（-1，0）以MN為直徑的圓過F₁?

F1M

 •

F1N

=0，設(shè)直線為y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

F1M

•

F1N

=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x₂）+1+k²，由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，知（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，再由根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答：解：（1）依題意得F₂（1，0），所以c=1，又過點（0，

3

），
因此a²=b²+c²=4．
故所求的橢圓C₁的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1，
2）

PE

•

PF

=(

F2E

-

F2P

)  •(

F2F

-

F2P

)
=

F2E

-

F2F

-

F2E

-

F2P

-

F2F

+

F2P

-

F2P

=-

1

2

×

1

2

cosπ-0+|

F2P

|2-

1

4

+ |

F2P

|2，
∵| 

F2P

|∈[1，3]，∴

PE

•

PF

的最大值為

35

4

，
（3）由（1）知F₁（-1，0）以MN為直徑的圓過F₁?

F1M

 •

F1N

=0，
①若直線l斜率不存在．易知N（1，

3

2

），M（1，-

3

2

）

F1N

•

F1M

=(2，

3

2

) •(2，-

3

2

) =4-

9

4

≠0合題意，
若直線l斜率k存在，可設(shè)直線為y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）

F1M

•

F1N

=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂，
=（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x₂）+1+k²  （*）
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，知（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，代入（*），
得

F1M

•

F1N

=

7k2-9

3+4k2

，
由

F1M

•

F1N

=0，得k=±

3

7

7

，
所以存在滿足條件的直線，方程為：3x±

7

y-3=0．

點評：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和綜合應(yīng)用，難度較大，解題時要注意挖掘隱含條件，認(rèn)真審題，利用根與系數(shù)的關(guān)系，仔細(xì)解答．