Question

已知橢圓C₁的中心在原點，焦點在y軸上，離心率為

5

3

，且經(jīng)過點M(

3

，

3

2

)．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）已知橢圓C₂的長軸和短軸都分別是橢圓C₁的長軸和短軸的m倍（m＞1），中心在原點，焦點在y軸上．過點C（-1，0）的直線l與橢圓C₂交于A、B兩個不同的點，若

AC

=2

CB

，求△OAB的面積取得最大值時的直線的方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)橢圓C₁的方程

y2

a2

+

x2

b2

=1，由e=

5

3

及橢圓過M（

3

，

3

2

）可得a，b之間的關(guān)系，從而可求a，b，進而可求橢圓的方程
（Ⅱ），設(shè)橢圓C₂的方程為

y2

9m2

+

x2

4m2

=1A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由m＞1知點C（-1，0）在橢圓內(nèi)部，直線l與橢圓必有兩個不同的交點，當(dāng)直線l垂直與x軸時，不合條件．
故設(shè)直線l為y=k（x+1）（A、B、O三點不共線，故k≠0），聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求y₁+y₂，由

AC

=2

CB

，可得y₁=-2y₂…（從而可求y₂，而△OAB的面積 S=

1

2

|OC|•|y1-y2|=

3

2

|y2|，代入利用基本不等式可求面積的最大值及k

解答：解：（I）設(shè)橢圓C₁的方程

y2

a2

+

x2

b2

=1
∵e=

5

3

∴4a²=9b²
∵橢圓過M（

3

，

3

2

）
∴

9

4a2

+

3

b2

=1
∴b²=4，a²=9
∴橢圓的方程

y2

9

+

x2

4

=1（6分）
（Ⅱ），設(shè)橢圓C₂的方程為

y2

9m2

+

x2

4m2

=1A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．…（7分）
∵m＞1
∴點C（-1，0）在橢圓內(nèi)部，直線l與橢圓必有兩個不同的交點
當(dāng)直線l垂直與x軸時，

AC

=

CB

（不是零向量），不合條件．
故設(shè)直線l為y=k（x+1）（A、B、O三點不共線，故k≠0）…（8分）
由

y=k(x+1) 4y2+9x2=36m2

得(

9

k2

+4)y2-

18

k

y+9-36m2=0∴y1+y2=

18k

9+4k2

…（9分）
∵

AC

=2

CB

，而點C（-1，0），
∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂）
∴y₁=-2y₂…（10分）
∴y2=

-18k

9+4k2

．
于是，△OAB的面積 S=

1

2

|OC|•|y1-y2|=

3

2

|y2|=

27|k|

9+4k2

=

27

9 |k| +4|k|

≤

27

2 36

=

9

4

．
其中，上式取等號的條件是k2=

9

4

，即k=±

3

2

時，△OAB的面積取得最大值．
所以直線的方程為y=

3

2

(x+1)或y=-

3

2

(x+1)…（14分）

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程及直線與橢圓相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用及利用基本不等式求解函數(shù)的最值等知識的綜合應(yīng)用．