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        1. 已知橢圓C1的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,離心率為
          5
          3
          ,且經(jīng)過點(diǎn)M(
          3
          ,
          3
          2
          )

          (Ⅰ)求橢圓C1的方程;
          (Ⅱ)已知橢圓C2的長(zhǎng)軸和短軸都分別是橢圓C1的長(zhǎng)軸和短軸的m倍(m>1),中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上.過點(diǎn)C(-1,0)的直線l與橢圓C2交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn),若
          AC
          =2
          CB
          ,求△OAB的面積取得最大值時(shí)的直線的方程.
          分析:(I)設(shè)橢圓C1的方程
          y2
          a2
          +
          x2
          b2
          =1
          ,由e=
          5
          3
          及橢圓過M(
          3
          3
          2
          )可得a,b之間的關(guān)系,從而可求a,b,進(jìn)而可求橢圓的方程
          (Ⅱ),設(shè)橢圓C2的方程為
          y2
          9m2
          +
          x2
          4m2
          =1
          A(x1,y1),B(x2,y2)由m>1知點(diǎn)C(-1,0)在橢圓內(nèi)部,直線l與橢圓必有兩個(gè)不同的交點(diǎn),當(dāng)直線l垂直與x軸時(shí),不合條件.
          故設(shè)直線l為y=k(x+1)(A、B、O三點(diǎn)不共線,故k≠0),聯(lián)立直線與橢圓方程,根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求y1+y2,由
          AC
          =2
          CB
          ,可得y1=-2y2…(從而可求y2,而△OAB的面積 S=
          1
          2
          |OC|•|y1-y2|=
          3
          2
          |y2|
          ,代入利用基本不等式可求面積的最大值及k
          解答:解:(I)設(shè)橢圓C1的方程
          y2
          a2
          +
          x2
          b2
          =1

          e=
          5
          3

          ∴4a2=9b2
          ∵橢圓過M(
          3
          3
          2

          9
          4a2
          +
          3
          b2
          =1

          ∴b2=4,a2=9
          ∴橢圓的方程
          y2
          9
          +
          x2
          4
          =1
          (6分)
          (Ⅱ),設(shè)橢圓C2的方程為
          y2
          9m2
          +
          x2
          4m2
          =1
          A(x1,y1),B(x2,y2).…(7分)
          ∵m>1
          ∴點(diǎn)C(-1,0)在橢圓內(nèi)部,直線l與橢圓必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
          當(dāng)直線l垂直與x軸時(shí),
          AC
          =
          CB
          (不是零向量),不合條件.
          故設(shè)直線l為y=k(x+1)(A、B、O三點(diǎn)不共線,故k≠0)…(8分)
          y=k(x+1)
          4y2+9x2=36m2
          得(
          9
          k2
          +4)y2-
          18
          k
          y+9-36m2=0∴y1+y2=
          18k
          9+4k2
          …(9分)
          AC
          =2
          CB
          ,而點(diǎn)C(-1,0),
          ∴(-1-x1,-y1)=2(x2+1,y2
          ∴y1=-2y2…(10分)
          y2=
          -18k
          9+4k2

          于是,△OAB的面積 S=
          1
          2
          |OC|•|y1-y2|=
          3
          2
          |y2|
          =
          27|k|
          9+4k2
          =
          27
          9
          |k|
          +4|k|
          27
          2
          36
          =
          9
          4

          其中,上式取等號(hào)的條件是k2=
          9
          4
          ,即k=±
          3
          2
          時(shí),△OAB的面積取得最大值.
          所以直線的方程為y=
          3
          2
          (x+1)或y=-
          3
          2
          (x+1)
          …(14分)
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程及直線與橢圓相交關(guān)系的應(yīng)用,方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用及利用基本不等式求解函數(shù)的最值等知識(shí)的綜合應(yīng)用.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知橢圓C1的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,離心率為e=
          3
          2
          ,點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),且△PF1F2面積的最大值為
          3

          (1)求橢圓C1的方程;
          (2)設(shè)橢圓短軸的上端點(diǎn)為A,點(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn),且
          1
          5
          |
          F2A
          |2,
          1
          2
          F2M
          AM
          ,
          AF1
          OM
          成等差數(shù)列,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C2的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知橢圓C1的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),點(diǎn)A(2,3)在橢圓C1上,求橢圓C1的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知橢圓C1的中心在原點(diǎn),離心率為
          4
          5
          ,焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10.過雙曲線C2
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0)
          右焦點(diǎn)F2作垂直于x軸的直線交雙曲線C2于M、N兩點(diǎn).
          (I)求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (II)若雙曲線C2與橢圓C1有公共的焦點(diǎn),且以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的左頂點(diǎn)A,求雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (III)若以MN為直徑的圓與雙曲線C2的左支有交點(diǎn),求雙曲線C2的離心率的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2010•濟(jì)寧一模)已知橢圓C1的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,離心率為e=
          3
          2
          ,P
          為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),且△PF1F2面積的最大值為
          3

          (1)求橢圓C1的方程;
          (2)設(shè)橢圓短軸的上端點(diǎn)為A、M為動(dòng)點(diǎn),且
          1
          5
          |
          F2A
          |2,
          1
          2
          F2M
          AM
          ,
          AF1
          OM
          成等差數(shù)列,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C2的方程;
          (3)過點(diǎn)M作C2的切線l交于C1與Q、R兩點(diǎn),求證:
          OQ
          OR
          =0

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          同步練習(xí)冊(cè)答案