Question

（2005•海淀區(qū)二模）設(shè)橢圓C₁的中心在原點(diǎn)，其右焦點(diǎn)與拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)F重合，過(guò)點(diǎn)F與x軸垂直的直線與C₁交于A、B兩點(diǎn)，與C₂交于C、D兩點(diǎn)，已知

|CD|

|AB|

=

4

3

．
（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為

π

3

的直線與C₂：y²=4x交于P、Q兩點(diǎn)，求|PQ|的值；
（Ⅱ）求橢圓C₁的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由拋物線方程求出交點(diǎn)F的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線l的方程，和拋物線方程聯(lián)立后利用弦長(zhǎng)公式求得|PQ|的值；
（Ⅱ）聯(lián)立拋物線和直線x=1求出C和D的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到

|FC|

|FA|

=

|CD|

|AB|

=

4

3

，由此得到A的坐標(biāo)，代入橢圓方程，結(jié)合隱含條件機(jī)焦點(diǎn)坐標(biāo)可求a，b的值，則橢圓方程可求．

解答：解：（I）由y²=4x，得F（1，0），傾斜角為

π

3

，∴斜率為

3

．
則l：y=

3

(x-1)
由方程組

y2=4x y= 3 (x-1)

，得3x²-10x+3=0
△=100-4×9=64＞0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則x1+x2=

10

3

，x1x2=1．
∴|PQ|=

1+3

•

64

3

=

16

3

；
（II）解方程組

y2=4x x=1

，得C（1，2），D（1，-2）
由于C₁，C₂，都關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴

|FC|

|FA|

=

|CD|

|AB|

=

4

3

|FA|=

3

4

×2=

3

2

∴A（1，

3

2

）．
∴

1

a2

+

9

4b2

=1，又a2-b2=c2=1
得

1

b2+1

+

9

4b2

=1．
解得：b²=3，∴a²=4
∴

x2

4

+

y2

3

=1為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，利用圓錐曲線的對(duì)稱(chēng)性是解答該題的關(guān)鍵，是中高檔題．