Question

【題目】已知函數(shù)．

（I）如果在處取得極值，求的值．

（II）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（III）當(dāng)時，過點存在函數(shù)曲線的切線，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（III）.

【解析】試題分析：（I）求導(dǎo)數(shù)，由解得k的值即為所求；（II）求得，分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（III）先設(shè)出切點，并求出函數(shù)在該點處的切線為，將代入切線放長可得，由此可得t的范圍即函數(shù)的 值域，求函數(shù)的值域可得所求。

試題解析：

（Ⅰ）函數(shù)的定義域為．

∵，

∴，

∵函數(shù)在處取得極值，

∴，解得

當(dāng)時， ，

∴當(dāng)時， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時， 單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在處取得極小值，符合題意．

∴

（Ⅱ）因為．

①當(dāng)時， 恒成立，所以在上單調(diào)遞減，

②當(dāng)時，令，得，

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增。

綜上，當(dāng)時， 的單調(diào)減區(qū)間為；

當(dāng)時， 的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為。

（III）當(dāng)時， ，

設(shè)切點坐標(biāo)為，則.

又，

所以切線方程為，

將代入上式得．

令，所以．

當(dāng)時，解得．

所以當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞減．

所以當(dāng)時，函數(shù)有極大值，也為最大值，且，無最小值．

所以當(dāng)時，存在切線．

故的取值范圍為.