Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的長(zhǎng)為2，寬為1，.邊分別在軸.軸的正半軸上，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖所示）。將矩形折疊，使點(diǎn)落在線段上。

（1）若折痕所在直線的斜率為，試求折痕所在直線的方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求折痕長(zhǎng)的最大值；

（3）當(dāng)時(shí)，折痕為線段，設(shè)，試求的最大值。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

(1)對(duì)k=0,分類討論，將矩形折疊后點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)記為，先求G的坐標(biāo)，再求折痕所在的直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出直線的點(diǎn)斜式方程.(2) 先求出折痕直線交于點(diǎn)，交軸于，再求的最大值，即得折痕長(zhǎng)的最大值.(3)先求得，再求t的表達(dá)式和其最大值.

(1) ①當(dāng)時(shí),此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合, 折痕所在的直線方程

②當(dāng)時(shí)，將矩形折疊后點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)記為，

所以與關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱，

有

故點(diǎn)坐標(biāo)為，

從而折痕所在的直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)（線段的中點(diǎn)）為

折痕所在的直線方程，即

由①②得折痕所在的直線方程為：

（2）當(dāng)時(shí)，折痕的長(zhǎng)為2;

當(dāng)時(shí)，折痕直線交于點(diǎn)，交軸于

∵

∴折痕長(zhǎng)度的最大值為。

而 ,故折痕長(zhǎng)度的最大值為

（3）當(dāng)時(shí)，折痕直線交于，交軸于

∵ ∴

∵ ∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）

∴當(dāng)時(shí)，取最大值，的最大值是。