Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．

（1）求證：DC⊥平面PAC；
（2）求證：平面PAB⊥平面PAC；
（3）設(shè)點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA∥平面CEF？說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵PC⊥平面ABCD，DC平面ABCD，

∴PC⊥DC，

∵DC⊥AC，PC∩AC=C，

∴DC⊥平面PAC；

（2）

證明：∵AB∥DC，DC⊥AC，

∴AB⊥AC，

∵PC⊥平面ABCD，AB平面ABCD，

∴PC⊥AB，

∵PC∩AC=C，

∴AB⊥平面PAC，

∵AB平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PAC；

（3）

解：在棱PB上存在中點F，使得PA∥平面CEF．

∵點E為AB的中點，

∴EF∥PA，

∵PA平面CEF，EF平面CEF，

∴PA∥平面CEF

【解析】（1）利用線面垂直的判定定理證明DC⊥平面PAC；
（2）利用線面垂直的判定定理證明AB⊥平面PAC，即可證明平面PAB⊥平面PAC；
（3）在棱PB上存在中點F，使得PA∥平面CEF．利用線面平行的判定定理證明．
本題考查線面平行與垂直的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與平面之間的位置關(guān)系和平面與平面之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識點，需要掌握直線在平面內(nèi)—有無數(shù)個公共點；直線與平面相交—有且只有一個公共點；直線在平面平行—沒有公共點；兩個平面平行沒有交點；兩個平面相交有一條公共直線才能正確解答此題．