Question

【題目】設(shè)m是實數(shù)，f（x）=m﹣ （x∈R）
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求m的值；
（2）試用定義證明：對于任意m，f（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且不等式f（k3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：函數(shù)f（x）=m﹣ 為奇函數(shù)，

可得f（﹣x）=m﹣ =m﹣ ，且f（﹣x）+f（x）=0，

∴2m﹣ =2m﹣2=0（注：通過f（0）=0求可以，但要驗證）

∴m=1；

（2）

解：證明：設(shè)x1，x2∈R，x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=（m﹣ ）﹣（m﹣ ）= ﹣ =

∵x1，x2∈R，x1＜x2，

∴0＜2 ＜2 ，即2 ﹣2 ＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）．

則f（x）在R上為增函數(shù)．

（3）

解：由于f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，

由f（k3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0得：f（k3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2），

∴k3x＜﹣3x+9x+2即k＜﹣1+3x+ ，

由3x＞0，可得y=﹣1+3x+ ≥﹣1+2 =2 ﹣1，

當(dāng)且僅當(dāng)3x= ，即x=log3 時，取得最小值2 ﹣1，

則k＜2 ﹣1．

故實數(shù)k的取值范圍是（﹣∞，2 ﹣1）．

【解析】（1）由奇函數(shù)的定義，可得f（﹣x）+f（x）=0，化簡整理，解方程可得m的值（也可通過f（0）=0）；（2）運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，分取值、作差、變形和定符號、下結(jié)論等；（3）由于f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，由題意可得k3x＜﹣3x+9x+2即k＜﹣1+3x+ ，運(yùn)用基本不等式求得右邊函數(shù)的最小值，即可得到所求k的范圍．
【考點精析】掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．