Question

【題目】已知函數(shù)，記為的導(dǎo)函數(shù).

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線，求的值；

（2）討論的解的個(gè)數(shù)；

（3）證明：對任意的，恒有.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析(3)詳見解析

【解析】試題分析：（1）求出的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為，解方程可得；（2）由題意可得：，令，求出導(dǎo)數(shù)、單調(diào)區(qū)間和極值、最值，討論的取值范圍，即可得到解得個(gè)數(shù)；（3））令，利用導(dǎo)數(shù)可判斷在單調(diào)遞減，結(jié)合，可得結(jié)果.

試題解析：（1）由已知可得，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

，所以在點(diǎn)處的切線的斜率

又切線垂直于直線，所以，即，所以

（2）由（1）可得，令得，

令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故當(dāng)時(shí)，無解；

當(dāng)時(shí)，有唯一解；

當(dāng)時(shí)，有兩解.

（3）令

在單調(diào)遞減，又

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