Question

函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x²．若直線y=x+a與函數(shù)y=f（x）的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（　�。�

A．n（n∈Z）	B．2n（n∈Z）
C．2n或2n- 1 4 （n∈Z）	D．n或n- 1 4 （n∈Z）

Answer 1

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，設(shè)x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，于是f（x）=（-x）²=x²．
設(shè)x∈[1，2]，則（x-2）∈[-1，0]．于是，f（x）=f（x-2）=（x-2）²．
①當(dāng)a=0時(shí)，聯(lián)立

y=x y=x2

，解之得

x=0 y=0

或

x=1 y=1

，即當(dāng)a=0時(shí)，即直線y=x+a與函數(shù)y=f（x）的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．
②當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，只有當(dāng)直線y=x+a與函數(shù)f（x）=x²在區(qū)間[0，1）上相切，且與函數(shù)f（x）=（x-2）² 在x∈[1，2）上僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)才滿足條件．由f^′（x）=2x=1，解得x=

1

2

，
∴y=(

1

2

)2=

1

4

，故其切點(diǎn)為(

1

2

，

1

4

)，
∴a=

1

4

-

1

2

=-

1

4

；
由

y=x- 1 4 y=(x-2)2

（1≤x＜2）解之得

x= 5-2 2 2 y= 9-4 2 4

．
綜上①②可知：直線y=x+a與函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2）上的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)時(shí)的a的值為0或-

1

4

．
又函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），實(shí)數(shù)a的值為2n或2n-

1

4

，（n∈Z）．
故應(yīng)選C．