Question

（2008•臨沂二模）已知函數f（x）是定義在[-e，0）∪（0，e]上的奇函數，當x∈[-e，0）時，f（x）=ax-ln（-x），（a＜0，a∈R）
（I）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在實數a，使得當x∈（0，e]時f（x）的最大值是-3，如果存在，求出實數a的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用奇函數的定義即可得出；
（II）假設存在實數a，使得當x∈（0，e]時f（x）的最大值是-3．利用導數的運算法則可得f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

，分類討論（i）當-

1

a

≥e時，（ii）當-

1

a

＜e時，即a＜-

1

e

時．得出即可．

解答：解：（I）設x∈（0，e]，則-x∈[-e，0）．
而f（x）是奇函數，∴f（x）=-f（-x）=-[a（-x）-lnx]=ax+lnx．
∴f(x)=

ax-ln(-x)，x∈[-e，0) ax+lnx，x∈(0，e]

．
（II）假設存在實數a，使得當x∈（0，e]時f（x）的最大值是-3．
f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

，
（i）當-

1

a

≥e時，即-

1

e

≤a＜0時．f（x）在（0，e]上是增函數，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1=-3，解得a=

-4

e

＜-

1

e

，應舍去．
（ii）當-

1

a

＜e時，即a＜-

1

e

時．
列表
由表格可知：f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)=-3，得a=-e²．
故存在實數a=-e²，使f（x）在（0，e]上取得最大值-3．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、分類討論的思想方法、奇函數的意義等是解題的關鍵．