Question

（本小題滿分12分）
在如圖所示的空間幾何體中，平面平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點E在平面ABC上的射影落在的平分線上。
（1）求證：DE//平面ABC；
（2）求二面角E—BC—A的余弦；
（3）求多面體ABCDE的體積。

Answer 1

（1）略
（2）二面角E—BC—A的余弦值為
（3）多面體DE—ABC的體積為V=V₁-V₂=

解：方法一：（1）由題意知， 都是邊長為2的等邊三角形，取AC中點O，連接BO，DO，則

平面ACD平面ABC
平面ABC，作EF平面ABC，
那么EF//DO，根據(jù)題意，點F落在BO上，
，易求得
所以四邊形DEFO是平行四邊形，DE//OF；
平面ABC，平面ABC，
平面ABC…………4分
（2）作FGBC，垂足為G，連接FG；
平面ABC，根據(jù)三垂線定理可知，EGBC
就是二面角E—BC—A的平面角



即二面角E—BC—A的余弦值為…………8分
（3）平面ACD平面ABC，OBAC
平面ACD；又
平面DAC，三棱錐E—DAC的體積

又三棱錐E—ABC的體積
多面體DE—ABC的體積為V=V₁-V₂=…………12分
方法二：（1）同方法一
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，可求得平面ABC的一個法向量為，
平面BCE的一個法向量為，所以
又由圖知，所求二面角的平面角是銳角，所以二面角E—BC—A的余弦值為

（3）同方法一