Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，.

（1）證明：平面；

（2）若是的中點(diǎn)，，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

(1)利用勾股定理可得與即可證明平面.

(2)根據(jù)垂直關(guān)系可以建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系,再利用空間向量的方法分別求得平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量,再利用二面角的夾角公式求解即可.

（1）因?yàn)?/span>,所以,同理可得.

因?yàn)?/span>,所以平面.

（2）因?yàn)?/span>,所以、、兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)?/span>,所以,,,,

因?yàn)?/span>是的中點(diǎn),所以,

因?yàn)?/span>,,所以,

所以,.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

由,得,

取,得.

取的中點(diǎn),連接,易證平面,

則平面的一個(gè)法向量為.設(shè)二面角的平面角為,

由圖知,所以,

所以二面角的余弦值為.