Question

已知向量

a

，

b

，滿足

a

=（1，2），

b

=（-2，1）．
（1）求向量

a

-

b

的坐標(biāo)，以及向量

a

-

b

與

a

的夾角；
（2）若向量

a

-

b

與k

a

+

b

垂直，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（1）求出 

a

 -

b

  的坐標(biāo)，設(shè)

a

-

b

 與

a

的夾角為 θ，則由 cos＜

a

-

b

，

a

＞=

( a - b ) • a

| a - b |•| a |

 求出 θ  的值．
（2）根據(jù)題意，求出兩個向量的差的坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件：數(shù)量積為0列出方程，求出k的值．

解答：解：（1）

a

 -

b

=（3，1），設(shè)

a

-

b

 與

a

的夾角為 θ，
則 cos＜

a

-

b

，

a

＞=

( a - b ) • a

| a - b |•| a |

=

3•1+2

9+1 • 1+4

=

2

2

．
根據(jù)題意得 0≤θ≤π，∴θ=

π

4

．
（2）：

a

 -

b

=（3，1），k

a

+

b

=(k-2，2k+1)
∵向量

a

-

b

與k

a

+

b

垂直
∴3×（k-2）+2k+1=0
解得k=1．

點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標(biāo)形式的運算，向量的模的定義和求法，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，準(zhǔn)確運算是解題的關(guān)鍵．