Question

如圖1，直角梯形中，，分別為邊和上的點(diǎn)，且，．將四邊形沿折起成如圖2的位置，使．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成銳角的余弦值.

Answer 1

（1）見解析；（2）。

解析試題分析：（1）取DE中點(diǎn)G，連接FG,AG，平面，只需證平面AFG∥平面CBD，又平面，平面，故只需證∥平面CBD，∥平面CBD即可；
（2）要求平面與平面所成銳角的余弦值，需找兩平面的法向量，取中點(diǎn)為H，連接DH，可證， 故以中點(diǎn)H為原點(diǎn)，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知是平面的一個(gè)法向量，由可得平面的一個(gè)法向量為，然后由空間兩向量夾角公式去求平面與平面所成銳角的余弦值。         
試題解析：（1）證明：取DE中點(diǎn)G，連接FG,AG，CG.因?yàn)?CFDG,所以FG∥CD.因?yàn)?CGAB, ,
所以AG∥BC.所以平面AFG∥平面CBD， 所以 AF∥平面CBD.   
（2）解: 取中點(diǎn)為H，連接DH.,，
.，.
以中點(diǎn)H為原點(diǎn)，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/10/e/jifao.png" style="vertical-align:middle;" />，所以易知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為

由  
令則，，
,
所以面與面所成角的余弦值為.
考點(diǎn)：（1）空間線面平行、面面平行、線面垂直判定定理的應(yīng)用；（2）空間兩平面夾角的定義、平面法向量的定義的應(yīng)用；（3）空間向量的基本運(yùn)算。