Question

如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面⊥底面，側(cè)棱與底面成的角，．底面是邊長為2的正三角形，其重心為點，是線段上一點，且．

（Ⅰ）求證：//側(cè)面；
（Ⅱ）求平面與底面所成銳二面角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）延長B₁E交BC于點F，易證點F為BC的中點，G為△ABC的重心，則A、G、F三點共線，由線段成比例可證GE與AB₁平行，從而得GE//側(cè)面AA₁B₁B；（Ⅱ）由側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC，過B₁作B₁H⊥AB，垂足為H，過H作HT⊥AF，垂足為T，連B₁T，易證∠B₁TH為所求二面角的平面角，在Rt△B₁HT中，求其正切值.注意作二面角的平面角時的證明，要求有“一作二證三求”.取AB的中點O，則AO⊥底面ABC ，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，此題也可用向量法完成.
試題解析：解法1：（Ⅰ）延長B₁E交BC于點F，∽△FEB，BE=EC₁，∴BF=B₁C₁=BC，
從而點F為BC的中點．
∵G為△ABC的重心，∴A、G、F三點共線．且，
又GE側(cè)面AA₁B₁B，∴GE//側(cè)面AA₁B₁B．
（Ⅱ）在側(cè)面AA₁B₁B內(nèi)，過B₁作B₁H⊥AB，垂足為H，∵側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC，
∴B₁H⊥底面ABC．又側(cè)棱AA₁與底面ABC成60°的角，AA₁=2，∴∠B₁BH=60°，BH=1，B₁H= 
在底面ABC內(nèi)，過H作HT⊥AF，垂足為T，連B₁T，由三垂線定理有B₁T⊥AF，
又平面B₁CE與底面ABC的交線為AF，∴∠B₁TH為所求二面角的平面角．
∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，∴HT=AH．在Rt△B₁HT中，，
從而平面B₁GE與底面ABC成銳二面角的正切值為．
解法2：（Ⅰ）∵側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC，側(cè)棱AA₁與底面ABC成60°的角，∴∠A₁AB=60°，   
又AA₁=AB=2，取AB的中點O，則AO⊥底面ABC．
以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系O—如圖，

則，，，，，．
∵G為△ABC的重心，∴．，∴，
∴．     又GE側(cè)面AA₁B₁B，∴GE//側(cè)面AA₁B₁B．
（Ⅱ）設(shè)平面B₁GE的法向量為，則由得
可取 又底面ABC的一個法向量為 
設(shè)平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角的大小為，則．
由于為銳角，所以，進而．
故平面B₁GE與底面ABC成銳二面角的正切值為．
考點：1.直線與平面平行的判定；2.二面角的平面角；3.空間向量在立體幾何中的應(yīng)用